ما هي الأعداد النسبية في الرياضيات

ما هي الأعداد المنطقية في الرياضيات؟ تحتوي الرياضيات على مجموعات مختلفة من الأعداد تبدأ بمجموعة من الأعداد الطبيعية ، والتي تشمل الأعداد الصفرية والموجبة ، ومجموعة الأعداد الصحيحة التي تشمل الصفر والأرقام الموجبة والسالبة ، والأرقام المنطقية ، والتي تشمل الكسور ، والأرقام غير النسبية ، ومن خلال الصفحة شبكة حصريات الإخباريية سوف نتعرف على ما هي الأرقام المنطقية في الرياضيات.

ما هي الأعداد المنطقية في الرياضيات

تُعرَّف الأعداد المنطقية في الرياضيات على أنها أرقام يمكن كتابتها في شكل كسري أ / ب بحيث يكون البسط والمقام أعدادًا صحيحة ، والمقام لا يساوي صفرًا ، مما يعني أن أ و ب ينتميان إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، و لا تساوي b صفرًا ، لذا إذا كانت u تساوي صفرًا ، يصبح المقام غير محدد ، ويسمى الرقم المنطقي عددًا منطقيًا موجبًا إذا كان للبسط والمقام نفس العلامة ، بينما يطلق عليه رقم عقلاني سالب إذا كان البسط والمقام لهما إشارات مختلفة. ، مثل الأرقام التي تحتوي على جذور تربيعية لمربع غير كامل وكسور عشرية غير منتهية.[1]

أمثلة على الأعداد المنطقية

بعد معرفة الأرقام المنطقية في الرياضيات ، هناك عدة أمثلة توضيحية لصورة الأعداد المنطقية ، ومن بين هذه الأمثلة:

الأرقام الصحيحة

الأعداد الصحيحة هي الأرقام التي تحتوي على أرقام موجبة وأرقام سالبة وصفر ، وجميع الأعداد الصحيحة تعتبر أعدادًا منطقية ، لأن البسط عدد صحيح والمقام يساوي عددًا صحيحًا ، ومن الأمثلة على ذلك:

إقرأ أيضا:يتكون الجهاز العصبي من عضو اساسي هو

• الرقم 10 عدد نسبي: يمكن كتابته في صورة كسر 1/10 والمقام يساوي واحدًا.

• الرقم -4 هو رقم نسبي: يمكن كتابته في صورة كسر -4/1 ، والمقام هو واحد.

• الرقم 0 هو رقم نسبي: يمكن كتابته كـ 0/1 ، والمقام هو واحد.

الكسور والأعداد الكسرية

الكسر هو الذي يمكن كتابته على شكل بسط ومقام ، بحيث ينتمي كل من البسط والمقام إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، وقيمة المقام لا تساوي صفرًا. إنها أرقام منطقية ، ويمكن ترجمتها باستخدام الرموز. b لمجموعة الأعداد الصحيحة ، و b لا تساوي الصفر ، والأرقام المنطقية تتبع نفس تعريف الكسور ، وهي أيضًا أرقام منطقية ، ومن الأمثلة على ذلك:

• يعتبر الكسر 2/4 عددًا نسبيًا ، لأن البسط والمقام ينتميان إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، والمقام لا يساوي الصفر.
• يعتبر العدد الكسري 5 و 3/2 عددًا منطقيًا لأنه يمكن تحويله إلى كسر بالصيغة a / b ، ومقامه لا يساوي صفرًا.

ملحوظة: بعض الكسور لا تعتبر نسبية كما هو موضح في الأمثلة:

• يعتبر الكسر 0/20 عددًا غير نسبي. على الرغم من أن 0 و 20 ينتميان إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، فإن المقام يساوي صفرًا ، مما ينتج عنه قيمة غير محددة.
• يعتبر الكسر π / 9 عددًا غير نسبي. على الرغم من أن المقام عدد صحيح ولا يساوي صفرًا ، فإن π ليس عددًا نسبيًا.

الكسور العشرية

الكسور العشرية هي كسور منطقية يمكن كتابتها في صورة كسرية تتكون من بسط ومقام إذا كانت كسور منتهية أو متكررة. ومن الأمثلة على ذلك:

إقرأ أيضا:نسب القبول في جامعة الملك خالد 1444

• يعتبر الكسر العشري 1.2 عددًا نسبيًا ، لأنه يمكن التعبير عنه في صورة 1/2/1 ، وعندما يضرب كل من البسط والمقام في الرقم 10/10 ، ينتج الرقم 10/12 ، وهو رقم نسبي ، لأن الرقمين 12 و 10 عدد صحيح والعدد 10 لا يساوي صفرًا.
• الكسر العشري المتكرر … يعتبر 5.555 رقمًا منطقيًا ، لأنه يمكن كتابته كرقم كسري 5 و 1/5 ، ويمكن تحويل هذا الرقم المختلط إلى 10/5 ، والذي يعتبر عددًا نسبيًا.

انظر أيضًا: يسمى الرقم غير النسبي عددًا صحيحًا

أشهر الأمثلة على الأعداد غير المنطقية

الأعداد غير النسبية هي كسور لا نهائية ، أو كسر مقامه صفر ، وأشهر الأمثلة على الأعداد غير النسبية هي ما يلي:[2]

• الرقم π: يعتبر رقماً غير نسبي لأن قيمته تساوي 3.1415926535897932384626433832795 وهو رقم عشري لانهائي.

• الرقم النيجيري e: يعتبر رقمًا غير نسبي ، لأن قيمته تساوي 2.7182818284590452353602874713527 ، وهو رقم عشري لانهائي.

• بعض الجذور التربيعية والتكعيبية: قيمتها تساوي الكسور العشرية اللانهائية ، على سبيل المثال الجذر التربيعي للعدد 3.

وانظر أيضا: حل كتاب الرياضيات المدرسة الإعدادية الثانية ج 1 الفصل الأول 1443

إقرأ أيضا:رابط اختبار اختيار التخصص بالتفصيل

خصائص الأعداد المنطقية

فيما يلي مجموعة من الخصائص العامة للأرقام المنطقية ، بما في ذلك:

• عند ضرب عددين منطقيين ، يكون المنتج هو حاصل ضرب بسط العددين وحاصل ضرب مقام العددين.
• عند جمع عددين منطقيين لهما نفس المقام ، تكون النتيجة مجموع البسطين في العددين ، ويظل المقام كما هو.
• عند طرح عددين منطقيين لهما نفس المقام ، تكون النتيجة ناتج طرح بسط العددين ، ويظل المقام كما هو.
• عند ضرب أو جمع أو طرح رقمين منطقيين لهما نفس المقام ، تكون النتيجة عددًا نسبيًا ، ولا يمكن أن تكون غير ذلك.
• عند قسمة بسط ومقام رقم منطقي على عدد صحيح قيمته لا تساوي الصفر ، تكون النتيجة أيضًا رقمًا نسبيًا.
• عندما تضرب بسط ومقام عدد نسبي في عدد صحيح قيمته لا تساوي صفرًا ، تكون النتيجة أيضًا رقمًا نسبيًا.
• دائمًا ما يساوي الجذر التربيعي عددًا نسبيًا ، وقيمته هي الرقم الموجود داخل الجذر.
• يمكن أن يؤدي ناتج الجذور غير المنطقية في بعض الأحيان إلى عدد غير منطقي.
• إذا كان البسط والمقام للرقم المنطقي يشتركان في 1 فقط ، فيُطلق عليه الشكل القياسي للرقم المنطقي.
• لا يمكن أن تؤدي عملية جمع أو طرح الأرقام غير المنطقية إلى الحصول على أرقام منطقية ، إلا إذا كان الرقمان متعاكسان في الإشارة ويلغي أحدهما الآخر.

أسئلة مختلفة حول الأعداد المنطقية

تساعد الأسئلة المختلفة على فهم تعريف الأعداد المنطقية ، بما في ذلك ما يلي:

• السؤال الأول: هل تمثل الكسور التالية أعدادًا منطقية؟

  • الكسر 8/5: يعتبر عددًا نسبيًا ، لأن كلًا من البسط والمقام ينتميان إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، والمقام لا يساوي صفرًا.
  • الكسر 4/0: لا يعتبر عددًا نسبيًا ، لأن المقام هو صفر ، لذلك فهو رقم غير معرف.
  • -8: يعتبر رقمًا منطقيًا ، حيث يمكن كتابته على شكل 1/8.
  • 0: يعتبر رقمًا منطقيًا ، حيث يمكن كتابته كـ 0/1

• السؤال الثاني: هل تمثل الكسور العشرية التالية أعدادًا منطقية؟

  • 2.585858585858: رقم نسبي ، لأنه كسر دوري حيث يتكرر الرقمان 5 و 8 بنفس التردد.
  • 1.4789: رقم نسبي ، لأنه رقم عشري محدد.

• السؤال 3: هل القيم التالية تعتبر كسورًا منطقية أم أنها شيء آخر؟

  • 2/4: رقم نسبي ، لأن البسط والمقام ينتميان إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، والمقام لا يساوي الصفر.
  • 1 و 3/4: عدد نسبي ، لأنه يساوي الكسر 7/4 الذي يعتبر عددًا نسبيًا ، لأن البسط والمقام يمثلان عددين صحيحين ، والمقام لا يساوي صفرًا.
  • 7895/200: رقم نسبي ، لأن البسط والمقام ينتميان إلى مجموعة الأعداد الصحيحة والمقام لا يساوي الصفر.

قارن الأرقام المنطقية

مقارنة الأرقام المنطقية هي عملية تُظهر علاقة الأرقام ببعضها البعض عن طريق علامات المقارنة مثل علامة التساوي ، وعلامة أكبر من ، وعلامة أقل من ، بحيث تحدد ما إذا كانت إحدى القيم تساوي ، أكبر من ، أو أقل من القيمة الأخرى ، وتستخدم العلامات والرموز لمقارنة الأرقام المنطقية ، وهي كالتالي:[3]

• علامة التساوي (=): تُستخدم للإشارة إلى تساوي قيمتين ، على سبيل المثال 3/4 = 3/4

• أقل من علامة (<): تُستخدم للإشارة إلى أن القيمة الأولى أقل من القيمة الثانية ، على سبيل المثال 1/4 <1/2

• أكبر من علامة (>): تُستخدم للإشارة إلى أن القيمة الأولى أكبر من القيمة الثانية ، على سبيل المثال 1/5> 1/7

قارن الأعداد المنطقية الموجبة

الرقم المنطقي الموجب هو الرقم الذي يكون فيه البسط والمقام موجبين ، وتتم عملية مقارنة الأرقام المنطقية من خلال الخطوات التالية:

• على سبيل المثال: قارن الرقم 6/3 بالرقم 4/5:
• اجمع قواسم الأعداد النسبية عن طريق تحديد المضاعف المشترك الأصغر
• المضاعف المشترك الأصغر للعدد 6/3 و 4/5 هو 15
• نضرب بسط ومقام 6/3 في 5 لنحصل على 30/15
• نضرب بسط ومقام 4/5 في 3 لنحصل على 12/15
• نجد أن 30/15 = (5 × 3) / (5 × 6) = 6/3
• نجد أن 12/15 = (3 × 5) / (3 × 4) = 4/5
• ستكون المقارنة 30/15 و 12/15.
• نقارن بسط كل رقم بعد دمج المقامات ، والرقم الذي يحتوي على أكبر بسط هو أكبر رقم ، وبما أن البسط عدد صحيح ، فإنه تتم مقارنته بنفس طريقة المقارنة بين الأعداد الصحيحة.
• نجد أن العدد 30 أكبر من العدد 12
• إذن 30/15 أكبر من 12/15 ، لذا 6/3> 4/5

قارن الأعداد المنطقية السالبة

الرقم المنطقي السالب هو رقم يكون فيه البسط والمقام سالبين ، وتتم عملية المقارنة بين الأعداد المنطقية السالبة على النحو التالي:

• اجمع قواسم الأعداد النسبية عن طريق تحديد المضاعف المشترك الأصغر.
• نقارن البسطين لكلا العددين المنطقيين بنفس الطريقة التي نقارن بها الأعداد السالبة.
• أكبر عدد سالب هو الرقم الأصغر.
• عند مقارنة الأرقام السالبة بالأرقام الموجبة ، يكون الرقم السالب دائمًا أقل من الرقم الموجب ، بغض النظر عن قيمته.

أمثلة لمقارنة الأعداد المنطقية

تساعد الأمثلة التوضيحية على فهم كيفية مقارنة الأرقام المنطقية الإيجابية والسلبية. تشمل الأمثلة ما يلي:

• المثال الأول: قارن بين الأرقام 4/8 و 7/8؟

  • الرقم 7/8> 4/8 لأن المقامات متحدة والرقم 7 أكبر من الرقم 4.

• المثال الثاني: قارن الأرقام 2/3 و 4/9؟

  • وجدنا أن المقامات ليست متساوية ، لذلك نجمع المقامات بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر = 9
  • نضرب بسط ومقام الكسر 2/3 في 3 لنحصل على 6/9
  • قارنا الأرقام 6/9 و 4/9
  • الرقم 4/9 <6/9 ، لأن المقامات متشابهة والرقم 4 أقل من الرقم 6.
  • الأعداد 4/9 <2/3

• المثال الثالث: قارن الأرقام 2/4 و 1/2؟

  • وجدنا أن المقامات ليست متساوية ، لذلك قمنا بدمج المقامات بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر = 4
  • نضرب بسط ومقام الكسر 1/2 في 2 لنحصل على 2/4
  • نقارن الأرقام 2/4 و 2/4
  • العدد 2/4 = 1/2 بعد تجميع المقامات.

ترتيب الأعداد المنطقية

ترتيب الأرقام تنازليًا يعني وضع الأرقام وفقًا لقيمها وتسلسلها من الأكبر إلى الأصغر ، ويعني ترتيب الأرقام بترتيب تصاعدي ترتيب الأرقام وفقًا لقيمها وتسلسلها من الأصغر إلى الأكبر ، وعملية ترتيب الأرقام المنطقية بالتفصيل ما يلي:

رتب الأعداد المنطقية بترتيب تنازلي

يتم ترتيب الأرقام النسبية بترتيب تنازلي من الأكبر إلى الأصغر باتباع الخطوات التالية:

• اجمع المقامات لجميع الأعداد النسبية بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر.
• قارن جميع الأرقام في البسط باستخدام نفس آلية مقارنة الأعداد الصحيحة.
• دائمًا ما تكون الأرقام الموجبة أكبر من الأرقام السالبة ، بغض النظر عن قيمتها.

رتب الأعداد المنطقية بترتيب تصاعدي

يتم ترتيب الأرقام المنطقية بترتيب تصاعدي من الأصغر إلى الأكبر باتباع الخطوات التالية:

• اجمع المقامات لجميع الأعداد النسبية بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر.
• قارن جميع الأرقام في البسط باستخدام نفس آلية مقارنة الأعداد الصحيحة.
• دائمًا ما تكون الأرقام السالبة أقل من الأرقام الموجبة ، بغض النظر عن قيمتها.

أمثلة على ترتيب الأعداد المنطقية

تساعد الرسوم التوضيحية في فهم آلية ترتيب الأعداد المنطقية بترتيب تصاعدي أو تنازلي على النحو التالي:

• مثال 1: رتب الأعداد المنطقية التالية بترتيب تنازلي 1/3 ، 4/9 ، 5/3؟

  • اجمع مقامات الكسور بإيجاد المضاعف المشترك الأصغر = 9
  • 3/9 ، 4/9 ، 15/9
  • 9/15> 9/4> 9/3
  • 5/3> 4/9> 1/3

• مثال 2: رتب الأعداد المنطقية التالية بترتيب تصاعدي 8 / 9- ، 4/9 ، 1/9؟

  • المقامات متشابهة ، فالمقارنة بين البسط لكل مقام؟
  • الرقم السالب دائمًا أقل من الرقم الموجب.
  • 8 / 9- <1/9 <4/9

هل الصفر رقم منطقي؟

نعم ، يعتبر الصفر رقمًا منطقيًا ، لأن الأعداد المنطقية هي أرقام يمكن كتابتها على شكل أ / ب ، بحيث ينتمي أ وب إلى مجموعة الأعداد الصحيحة ، وب لا يساوي صفرًا ، لذا فإن الرقم صفر قد لا يكون في المقام ، ولكن قد يكون في البسط بغض النظر عن موقعه.[4]

وصلنا هنا إلى نهاية مقالتنا ما هي الأعداد المنطقية في الرياضيات ، حيث نبرز الأعداد المنطقية وخصائصها وأمثلة عليها وكيفية مقارنتها.